Мобилизованного работника работодатель обязал написать заявление на увольнение по собственному желанию. Что нужно делать в этом случае?

Это незаконно.

Работодатель должен издать приказ об отмене приказа об увольнении; направить сведения об этом в ПФР; сделать запись об отмене приказа в трудовую книжку мобилизованного; после чего издать приказ о приостановлении трудового договора на основании повестки о призыве на военную службу по мобилизации.

При отказе работодателя работник или его официальный представитель (в том числе родственник) по доверенности имеет право обратиться с жалобой на него в государственную трудовую инспекцию, прокуратуру и суд.